این صفحه منطق مدل های قیمت گذاری گزینه دوجمله ای را توضیح می دهد – نحوه محاسبه قیمت گزینه از ورودی ها با استفاده از درختان دوجمله ای و نحوه ساخت این درختان.
فرضیات مدل دو جمله ای
همه مدل ها واقعیت را ساده می کنند تا محاسبات را ممکن کنند زیرا دنیای واقعی (حتی یک چیز ساده مانند حرکت قیمت سهام) اغلب برای توصیف با فرمول های ریاضی بسیار پیچیده است.
مدل های قیمت گذاری گزینه دوجمله ای فرضیات زیر را مطرح می کنند.
مراحل گسسته
قیمت ها به طور مداوم حرکت نمی کنند (همانطور که مدل بلک شولز فرض می کند) بلکه در یک سری مراحل گسسته حرکت می کنند .
زمان بین مراحل ثابت است و به راحتی محاسبه می شود به عنوان زمان انقضا تقسیم بر تعداد مراحل مدل.
مثلا, اگر شما می خواهید به قیمت یک گزینه با 20 روز به انقضا با یک مدل دو جمله ای 5 مرحله, مدت زمان هر مرحله است 20/5 = 4 روزها. هر 4 روز یک بار قیمت حرکت می کند.
بالا و پایین حرکت می کند
در هر مرحله قیمت فقط می تواند دو کار را انجام دهد (از این رو دو جمله ای): بالا یا پایین بروید.
اندازه این حرکت بالا و پایین ثابت هستند (درصد عاقلانه) در تمام مراحل, اما اندازه حرکت تا می توانید از اندازه حرکت به پایین متفاوت.
به عنوان مثال در هر مرحله قیمت می تواند 1.8 درصد افزایش یابد یا 1.5 درصد کاهش یابد. این اندازه دقیق حرکت از ورودی ها مانند نرخ بهره و نوسانات محاسبه می شود.
مانند اندازه, احتمال بالا و پایین حرکت می کند در تمام مراحل یکسان هستند. باید 1 (یا 100%) جمع شوند اما لازم نیست 50/50 باشند. مانند اندازه ها از ورودی ها محاسبه می شوند.
برای مثال, از یک مجموعه خاص از ورودی شما می توانید محاسبه که در هر مرحله, قیمت 48% احتمال بالا رفتن 1.8% و 52% احتمال پایین رفتن 1.5%.
این همه چیزی است که شما برای ساخت درختان دوجمله ای و محاسبه قیمت گزینه نیاز دارید.
نحوه محاسبه قیمت گزینه
اینها کارهایی است که باید انجام شود (برای جلوگیری از سردرگمی از کلمه استفاده نکنید) برای محاسبه قیمت گزینه با یک مدل دو جمله ای:
- بدانید ورودی های خود را (قیمت اساسی, قیمت اعتصاب, نوسانات و غیره.).
- از ورودی, محاسبه بالا و پایین اندازه حرکت و احتمالات .
- ساخت درخت قیمت اساسی از هم اکنون به انقضا, با استفاده از بالا و پایین حرکت اندازه.
- گام نهایی در درخت قیمت اساسی نشان می دهد قیمت های مختلف زمینه ای در انقضا برای حالات مختلف.
- از بالا, محاسبه نتیجه نهایی گزینه در انقضا برای حالات مختلف = گام نهایی در درخت قیمت گزینه.
- درخت قیمت گزینه را از انقضا تا اکنون به عقب بسازید.
- قیمت در ابتدای درخت قیمت گزینه قیمت فعلی گزینه است .
درخت قیمت اساسی
ما قبلا منطق نقاط 1-2 را توضیح دادیم. فرمول های دقیق برای اندازه حرکت و احتمالات بین مدل های منفرد متفاوت است (برای اطلاعات بیشتر مراجعه کنید کاکس-راس-روبینشتاین, جارو-رود, لیزن-ریمر). بقیه برای همه مدل ها یکسان است.
در حال حاضر بیایید از مقادیر گرد برای توضیح نحوه عملکرد درختان دوجمله ای استفاده کنیم:
- اندازه حرکت بالا و پایین +1% و-1%
- احتمالات 50% هر
- قیمت سهام پایه فعلی 100 دلار
ساده ترین مدل دو جمله ای ممکن فقط یک مرحله دارد. یک درخت قیمت اساسی یک مرحله ای با پارامترهای ما به این شکل است:
با قیمت اساسی فعلی (100.00) در سمت چپ شروع می شود. از وجود دارد قیمت هم می تواند تا 1% (به 101.00) و یا پایین 1% (به 99.00).
هیچ حد بالایی نظری در تعداد مراحل یک مدل دوجمله ای وجود ندارد. بطور کلی, مراحل بیشتر به معنای دقت بیشتر, بلکه محاسبات بیشتر. در این مقاله از یک مدل 7 مرحله ای استفاده می کنیم.
ویژگی های درخت دو جمله ای
مراحل فردی در ستون هستند.
ستون اول, که ما می توانیم گام پاسخ 0, قیمت اساسی فعلی است.
در هر مرحله پی در پی تعداد قیمت های احتمالی (گره های درخت) یکی افزایش می یابد.
تعداد گره ها در مرحله نهایی (تعداد قیمت های اساسی ممکن در زمان انقضا) برابر با تعداد مراحل + 1 است.
دو حرکت ممکن از هر گره به مرحله بعدی وجود دارد-بالا یا پایین.
همچنین دو حرکت احتمالی از مرحله قبل به هر گره وارد می شود (از قیمت پایین تر یا پایین تر از قیمت بالاتر) به جز گره های لبه ها که فقط یک حرکت دارند.
محاسبه درخت
با دانستن قیمت پایه فعلی (گره اولیه) و اندازه حرکت بالا و پایین می توانیم کل درخت را از چپ به راست محاسبه کنیم.
هر گره را می توان با ضرب گره پایین قبلی در اندازه حرکت بالا (به عنوان مثال در 1.02 اگر حرکت بالا +2 درصد باشد) یا با ضرب گره بالاتر قبلی در اندازه حرکت پایین محاسبه کرد. هر دو باید نتیجه یکسانی داشته باشند زیرا الف &نقطه مرکزی; ب = ب &نقطه مرکزی; الف .
مسیرها و احتمالات
می تواند بسیاری از مسیرهای مختلف از قیمت اساسی فعلی به یک گره خاص وجود دارد. برای مثال, تا به بالا به پایین (سبز), بالا به پایین به بالا (سرخ), پایین به بالا به بالا (طومار) همه نتیجه در همان قیمت, و همان گره.
توجه کنید که چگونه گره های اطراف (عمودی) وسط درخت مسیرهای احتمالی زیادی را وارد می کنند در حالی که گره های لبه ها فقط یک مسیر واحد دارند (همه فراز و نشیب ها). این واقعیت را منعکس می کند-به احتمال زیاد قیمت ثابت می ماند یا فقط کمی حرکت می کند تا اینکه با مقدار بسیار زیادی حرکت کند.
اگر شما به فکر یک منحنی زنگ, حق با شماست. با افزایش تعداد پله ها تعداد مسیرها به گره های فردی به منحنی زنگ شناخته شده نزدیک می شود.
نتیجه نهایی گزینه در انقضا
گام گذشته در درخت قیمت اساسی به ما می دهد تمام قیمت های اساسی ممکن است در انقضا. برای هر کدام می توانیم به راحتی بازده گزینه را محاسبه کنیم – ارزش گزینه در زمان انقضا.
دو چیز می تواند در انقضا اتفاق بیفتد.
اگر گزینه به پایان می رسد تا در پول, ما این ورزش و افزایش تفاوت بین قیمت های اساسی و قیمت اعتصاب ک :
اگر تفاوت های فوق (منافع بالقوه از ورزش) منفی هستند, ما را انتخاب کنید به ورزش نیست و فقط اجازه دهید گزینه منقضی. مقدار گزینه در چنین حالتی صفر است.
بنابراین مقدار گزینه در انقضا است:
این مقادیر گزینه, محاسبه شده برای هر گره از ستون گذشته از درخت قیمت اساسی, در واقع قیمت گزینه در ستون گذشته از درخت قیمت گزینه .
درخت قیمت گزینه
در حالی که اساسی قیمت درخت از چپ به راست محاسبه, گزینه قیمت درخت به عقب محاسبه-از مجموعه ای از بازده در انقضا, که ما فقط محاسبه, به گزینه قیمت فعلی.
هر گره در درخت قیمت گزینه از دو گره به سمت راست محاسبه می شود (گره یک حرکت به بالا و گره یک حرکت به پایین).
ما قبلا قیمت های گزینه را در هر دو گره می دانیم (زیرا درخت را از راست به چپ محاسبه می کنیم).
ما همچنین احتمالات هر یک را می دانیم (احتمالات حرکت بالا و پایین).
با همه اینها می توانیم قیمت گزینه را به عنوان میانگین وزنی و با استفاده از احتمالات به عنوان وزن محاسبه کنیم:
. جایی کهuو یاdقیمت گزینه در مرحله بعد پس از بالا و پایین حرکت, و پ احتمال حرکت تا است (بنابراین 1 – ص باید احتمال حرکت به پایین باشد).
اما کار ما تمام نشده است. ما باید نتیجه تخفیف به حساب برای ارزش زمانی پول, به دلیل بیان بالا است ارزش گزینه در مرحله بعدی انتظار می رود, اما ما می خواهیم ارزش فعلی خود را, یک گام زودتر. عامل تخفیف است:
. جایی که ر نرخ بهره بدون ریسک است و Δ تی مدت زمان یک مرحله در سال است که به عنوان تی/نیوتن محاسبه می شود که تی زمان انقضا در سال (روز تا انقضا / 365) و ن تعداد مراحل است.
فرمول قیمت گزینه در هر گره (برای تماس ها و قرار دادن ها یکسان است) :
با استفاده از این فرمول, ما می توانیم قیمت گزینه در تمام گره از راست به چپ از انقضا به گره اول درخت است که قیمت گزینه فعلی محاسبه, خروجی نهایی.
گزینه های امریکایی و ورزش اولیه
فرمول فوق شامل گزینه های اروپایی است که فقط در زمان انقضا قابل استفاده است. به همین دلیل است من نامه الکترونیکی استفاده کرده اند , به عنوان گزینه اروپا و یا ارزش مورد انتظار اگر ما این گزینه را تا مرحله بعدی نگه.
گزینه های امریکایی را می توان زودتر انجام داد. ما باید در هر گره بررسی کنیم که سودمند است یا خیر و قیمت گزینه را بر این اساس تنظیم کنید.
قیمت امریکایی بیشتر خواهد بود:
- از ورزش چه چیزی کسب می کنیم
- مقدار مورد انتظار گزینه زمانی که ورزش نیست = الکترونیکی
ما باید قیمت گزینه را با مقدار ذاتی گزینه مقایسه کنیم که دقیقا به همان روش بازده در انقضا محاسبه می شود:
. جایی که س گره درخت قیمت اساسی که محل همان گره در درخت قیمت گزینه که ما در حال محاسبه است.
اگر ارزش ذاتی بالاتر از الکترونیکی است, گزینه باید اعمال شود. قیمت گزینه برابر با ارزش ذاتی است.
در غیر این صورت (این است که سود به ورزش, بنابراین ما نگه داشتن گزینه) گزینه قیمت برابر الکترونیکی .
این است که احتمالا سخت ترین بخش از مدل های قیمت گذاری گزینه های دوجمله ای, اما منطق است که سخت است – ریاضیات بسیار ساده است.
هنگام اجرای این در اکسل به معنای ترکیب برخی از اگرها و حداکثر ها است:
