مجموعه مندلبرو, فرکتال, سیستم های دینامیکی, ریاضیات, فیزیک, هنر های رندر, رمزنگاری, نجوم و معنویت-یک پست اتصال

  • 2021-05-7

همه فراکتال ها را می توان با استفاده از یک سیستم عملکرد تکراری تولید کرد (اگر). اگر شامل یک تابع باشد اف که در یک حلقه بازخورد اجرا می شود که برای دانشجویان کامپیوتر به عنوان یک تابع بازگشتی نیز شناخته می شود. یعنی وقتی تابع خودش را فراخوانی می کند خروجی تابع به عنوان ورودی داده می شود. اولین بار تابع نامیده می شود, شما ورودی برخی از مقدار اولیه ج(0).

در اوایل قرن 20 ریاضیدانان فرانسوی گاستون جولیا و پیر فاتو تحقیق در مورد رفتار مجموعه ای از نقاط در صفحه پیچیده را از طریق سیستم های تابع تکرار شده محاسبه کردند. در این زمان کامپیوترها بیشتر به دنبال هرمان هولریت طراحی یک سیستم پانچ کارت برای اولین بار در حدود اختراع 1890, بنابراین عملا غیر ممکن بود به مطالعه ساختار عملا غیر ممکن است به مطالعه ساختار چنین مجموعه در هر شیوه ای روشنگری به عنوان منابع محاسباتی به دور از بودن در اختیار خود.

هندسه فراکتال طبیعت-ساختار فراکتالی گل کلم رومانسکو

مجموعه کانتور

فراکتال گرد و غبار کانتور را می توان با استفاده از یک مربع سیاه به عنوان مقدار اولیه ایجاد کرد. هر بار که اگرها را در یک حلقه بازخورد اجرا می کنید هر مربع را به چهار مربع کوچکتر تقسیم کرده و در شکل زیر کنار یکدیگر قرار می دهید.

اگر شما این روند را تکرار چند بار, شما در نهایت تا پایان با مقدار زیادی از نقطه یکنواخت توزیع, یا "گرد و غبار کانتور".

در حال حاضر توجه نزدیک: لامپ سیاه و سفید در وسط مجموعه مندلبرو واقعی است . این شاید جالب ترین نکته در مورد مجموعه های مندلبرو باشد:

اکنون باید به دقیق ترین زبان خود (به عنوان مثال ریاضیات) بازگردیم تا به طور رسمی مجموعه مندلبرو:

A point c ∈ C belong to the Mandelbrot set iff (if and only if – in mathematical logic where “ if and only if ” iff “>یک پیوند منطقی دو شرطی بین گزاره ها است که هر دو عبارت درست هستند یا هر دو نادرست هستند):

در اینجا ما یک داریم اگر با فرمول بازگشتی بالا و مقدار اولیه ز0= 0. براکت های عمودی نشان دهنده هنجار اقلیدسی شناخته شده است که به معنی فاصله یک نقطه در صفحه پیچیده از مبدا است:

ما همچنین می گوییم که یک نقطه ج متعلق به مجموعه مندلبرو است اگر وقتی فرمول را در یک حلقه بازخورد اجرا می کنیم محدود باقی بماند. نکته مهم دیگری که باید در نظر داشت این است که مشخص نیست که این نقطه در نهایت به سمت بی نهایت فرار می کند یا خیر و معمولا نمی توان گفت. به همین دلیل است که در پیادهسازیهای عملی شما حلقه بازخورد را برای حداکثر تعداد دفعات اجرا میکنید. ما می گویند اگر نقطه هنوز هم در شعاع باقی مانده است 2 از مبدا, نقطه ممکن است در نظر گرفته شود متعلق به مجموعه. ما مقدار 2 را انتخاب می کنیم زیرا می توان از نظر ریاضی نشان داد که اگر هنجار ز در تکرار نت بیشتر از 2 باشد تکرارهای پی در پی در نهایت به سمت بی نهایت فرار می کنند (ریاضیات یک زبان قوی است تا بتواند روان صحبت کند)). این نام خاص خود را دارد: شعاع نجات . برای کسب توانایی تشخیص و قدردانی از ماهیت فرکتال, یکی می دانیم که به عنوان زوم کردن در, به اندازه نفر است به افزایش یابد, و به عنوان یک نتیجه مستقیم نیز نیاز به اسب بخار.

رندر (یا اهمیت انتخاب رنگ) در مجموعه های مندلبرو

مجموعه مندلبرو در واقع یک نمونه عالی از چگونگی ذخیره مقدار "بی نهایت" اطلاعات در یک رسانه محدود است. پیش نیاز برای ایجاد یک فراکتال هنری جذاب نهفته در وجود یک تابع رنگ ج (ایکس). هدف از تابع رنگ است که اغلب به رنگ نقاط نهفته است که در خارج از مجموعه. به این هاله مجموعه مندلبرو گفته می شود. همچنین ممکن است به رنگ مجموعه خود را, اگر چه معمولا در یک رنگ ثابت مانند سیاه و سفید رنگی.

رایج ترین الگوریتم برای رنگ کردن هاله مجموعه الگوریتم زمان فرار نامیده می شود . الگوریتم زمان فرار بر اساس مقدار است ن, یعنی, تعداد تکرارها قبل از زnدر خارج از شعاع نجات قرار بگیرید. یک روش ساده و در عین حال زیبا برای رنگ کردن این است که مجموعه واقعی را به رنگ سیاه رنگ کنید و سپس هاله را از قرمز به سیاه محو کنید. یکی از راه های تعریف تابع رنگ. یک روش ساده و در عین حال زیبا برای رنگ کردن این است که مجموعه واقعی را به رنگ سیاه رنگ کنید و سپس هاله را از قرمز به سیاه محو کنید. یکی از راه های تعریف تابع رنگ. سپس عملکرد رنگ خواهد بود:

همانطور که در بالا توضیح داده, ایده این است که مجموعه ای در سیاه و سفید و سپس محو شدن هاله, بنابراین ج برای نفر هفتم تکرار یک بخش از یک رنگ را برمی گرداند (که? to به هر یک از خود. یک قانون مهم برای زندگی:" هرگز در مورد طعم و/یا بوی بهتر بحث نکنید"). این اختیاری است همچنین به رنگارنگ تر و استفاده از هر سه (به عنوان مثال. در چنین حالتی ما باید سه تابع استفاده: جr( ایکس), جg( ایکس) و جb(ایکس) (جایی که زیرنویس رنگ را نشان می دهد). در خلق و خوی بسیار شاد اختیاری است برای رفتن با انتخاب یک پالت رنگ پیشینی تهیه, به طوری که ج ( ایکس ) اشاره می کند یک رنگ در پالت ایجاد یک رنگین کمان effect اثر.

من این فصل را با افشای کامل باز خواهم کرد. من خیلی زود از خواب بیدار می شوم (حدود 5:00 🕔 ) برای تنها هدف لذت بردن از تمرین در واقع حضور در لحظه است که به نوبه خود احساس می کنم که به من کمک می کند تا در طول روز فقط کمی بیشتر توجه داشته باشم , به ویژه هنگامی که زمان های دشوار هر کانتور مجموعه ای از وضعیت دشوار و پر سر و صدا (از داخل). درست مثل یک مجموعه کانتور نقاط نشان دهنده دوره های زمانی کوتاه است که من احساس می کنم ماهیت پر سر و صدا و چند وجهی روابط و خواسته ها من را از هوشیاری در حال حاضر بدون قضاوت کردن دور می کند-فقط باش و هوشیار باش-چنین طبیعت مجموعه کانتور خوشه های بیشتری از سر و صدا را به نمایش می گذارد. این خوشه نشان دهنده "پشت سر هم" از سر و صدا, دوره های زمانی که بسیاری از اختلال وجود دارد. به نظر من مراقبه های صبحگاهی من در برخورد با این خوشه های سر و صدا بسیار مفید است و بنابراین سردرگمی و وضوح بیشتری در زندگی من وجود دارد. نمایندگی ریاضی برای طبیعت یهودو…

بازگشت به موضوع اصلی این فصل, بودابروت به عنوان بالا نشان داده شده یک نوع مجموعه ای مندلبرو است. اصطلاح بودابروت البته از این واقعیت ناشی می شود که فراکتال شبیه بودای مراقبه است. چیزی که با هر مجموعه مندلبرو متفاوت است در تعریف مجموعه مندلبرو نیست بلکه در الگوریتم رنگ استفاده شده است. برای ایجاد یک بودابروت ما تعداد دفعاتی را که از یک نقطه خاص بازدید شده است می شماریم و نه تعداد تکرارهای مورد نیاز مانند الگوریتم زمان فرار متر . فراکتالیزاسیون با تقسیم ورق خالی به یک ماتریس انجام می شود ن. هر عنصر ماتریس تعداد دفعاتی است که از یک منطقه خاص از ورق بازدید شده است. برای هر تکرار, ز به روزnبه تعداد در موقعیت مربوطه در ماتریس اضافه. هنگامی که یک چرخه از سیستم تابع تکرار اجرا می شود تا پیشینی ن برای همه ج ممکن رسیده است , یکی ممکن است یک پاس دوم بیش از ن را.

توجه داشته باشید که اگرچه تصاویر شبیه هنر هندو هستند اما در واقع کاملا خودکار و بدون هیچ گونه مداخله هنری انسانی تولید شده اند.

در مجموع, تولید یک تصویر بودابروت تنها نیاز به برخی از تغییرات بسیار ساده به روش رندر سنتی مندلبرو: به جای انتخاب نقاط اولیه در هواپیما واقعی پیچیده یکی برای هر پیکسل, نقاط اولیه به صورت تصادفی از منطقه تصویر انتخاب شده و یا بزرگتر به عنوان مورد نیاز. سپس هر نقطه اولیه با استفاده از تابع استاندارد مندلبرو تکرار می شود تا ابتدا تست شود که از منطقه نزدیک مبدا فرار می کند یا خیر. فقط کسانی که فرار می کنند در یک ثانیه دوباره تکرار می شوند. (کسانی که فرار نمی کنند – یعنی. که اعتقاد بر این است که در مجموعه مندلبرو باشد – نادیده گرفته می شوند). در طول تکرار مجدد, یک افزایش یک شمارنده برای هر پیکسل که زمین در نهایت قبل از خروج. در نهایت تصاویر پی در پی به سختی با یکدیگر تفاوت دارند.

بر خلاف مندلبرو که انتخاب تعداد تکرارهایی که به منظور تعیین اینکه نقطه فرار یا نه تست شده (اغلب به نام "نجات") اثر عمیقی بر ساختار واقعی ندارد, در بودابروت می تواند. به عنوان مثال در زیر برای اولین بار با استفاده از یک قید وثیقه از 200 و با استفاده از دوم 20. برای نسخه های با کیفیت بسیار بالا از بودابروت نجات بالا 1000 پیشنهاد شده است, البته که بار محاسبه را افزایش می دهد:

تعدادی از راه هایی که ممکن است یکی رنگ بودابروت وجود دارد, رایج ترین است برای محاسبه بودابروت چند بار با تعداد مختلف از تکرار. هر یک از این تصاویر به یک رنگ نقشه برداری و ترکیب, گاهی اوقات با مقادیر مختلف نجات, در نتیجه ترکیب مختلف "مواجهه" (یک روش الگوریتمی اغلب در نجوم استفاده می شود و به نام "رندر رنگ نادرست"-پایین را ببینید.

به عنوان مثال برای یک "رنگ کاذب" الگوریتم رندر ممکن است اعمال شود (دیدن ملیندا سبز در یوزنت در 1993 بودابروت) با رندر یک نسخه سیاه و سفید با تی=500, یکی دیگر از نسخه سیاه و سفید با تی=5,000, و یک سوم با تی=50,000. سپس از این سه تصویر در مقیاس خاکستری به عنوان کانال های قرمز (تی=500) و سبز (تی=5000) و ابی (تی=50000) برای گرفتن یک تصویر تمام رنگی استفاده کنید:

گزیده ای در مورد عکاسی نجومی و "رندر رنگ کاذب":

عناصر و ترکیبات مختلف می درخشند یا رنگ های مختلف نور را منعکس می کنند. به جای گرفتن یک عکس رنگی استاندارد, ستاره شناسان اغلب یک عکس با یک دوربین سیاه و سفید (گرایش به حساس تر) از طریق فیلتر را. برخی از فیلترها به گونه ای طراحی شده اند که فقط اجازه عبور نور از رنگ های خاص (حتی مادون قرمز یا فرابنفش) را می دهند. مثلا, یکی ممکن است یک فیلتر هاییی استفاده – یک فیلتر طراحی شده برای تنها رنگ نور ساطع شده توسط اکسیژن سه یونیزه نشان می دهد (شایع در سحابی خاص). یک تصویر از طریق این فیلتر که من می بینم گاز هی در اطراف یک جسم است (گسیل از جسم سوم ناشی از یک فرایند برخورد است که الکترون های رایگان با انرژی 1 ولت – در مورد مقدار پتانسیل تحریک کم اکسیژن – با اتم های اکسیژن برخورد می کنند).

هنگامی که تصویر نهایی ایجاد شده است, ترکیبی از تصاویر از فیلتر های مختلف ممکن است در هر راه مطلوب برای کار خاص از بازرسی بصری اعمال. به طور معمول قرمز, فهرست, و تصاویر سبز گرفته شده و مورد استفاده برای ایجاد یک تصویر رنگی به طور منظم. سپس, برای بازرسی از هجری قمری می توانید تصویر فیلتر هجری قمری را در بالای صفحه اضافه کنید, و تنظیم کنید تا هر رنگی که می خواهید باشد (زیرا دوربین های سیاه و سفید فقط سطح روشنایی را ثبت می کنند, مهم نیست که کدام رنگ به عنوان رنگ پایه انتخاب شده است). به عنوان مثال یکی می تواند فیلتر هشتم تصویر گرفته شده به نظر می رسد نارنجی و لایه با بقیه.

این کار اغلب با منابع نوری "غیرقابل مشاهده" انجام می شود. ما نمی توانیم مادون قرمز یا فرابنفش یا اشعه ایکس را ببینیم. این را می توان در سیاه و سفید گرفته شده و یک رنگ اختصاص داده و در لایه با بقیه. زیرا رنگهای اختصاص داده شده رنگهای "واقعی" این چراغها نیستند (در غیر این صورت دیده می شدند...) " رنگ کاذب "نامیده می شوند.

ترجمه نمادهای ریاضی: سiج به این معنی است که الف, د, و ه در صفحه مختلط تعلق دارند, x ایکس به معنای هر عدد است ایکس و ایکس Z ی به این معنی است که ایکس یک عدد صحیح است.

qiنتیجه از در حال اجرا است س در یک حلقه بازخورد من بار. اکنون قسمت مهمی از تعریف دو کلید وجود دارد که یکی برای هر یک از دو طرف است:

  • یک عدد مختلط ج که به طور پیشینی بین دو طرف توافق شده است . این ج و ایکس عمومی هستند و به عبارت دیگر می توانند توسط شخص ثالث رهگیری شوند.
  • One of the two parties generates a non-public list a finite ordered list (sequence) of 2 elements n and e (in mathematical words it said that one of the parties generates a non-public 2-tuple (n,e) ), where where n >ایکس, و الکترونیکی متعلق به مجموعه مندلبرو.
  • the second of the two parties generates another key consisting of the 2-tuple ( k, d ) where k >ایکس, و د متعلق به یک مجموعه مندلبرو.
  • بازگشت به اول از دو طرف. او اکنون روی را با تکرار فرمول محاسبه می کند: زi+1 = ziج 2 ه با ز اولیه0= ج(1), و این کار را انجام می دهد ن بار (ن تکرار), سپس می فرستد پa = znه به دوم از دو طرف.
  • دوم از دو طرف محاسبه الفnبا تکرار فرمول زi+1 = ziج 2 ه با ز اولیه0=ج(1) و این کار را می کند ک بار (ک تکرار) سپس می فرستد پb = zkد بازگشت به اول از دو طرف.
  • سپس اولین نفر از دو طرف یک محاسبه غیر عمومی را انجام می دهد ج-ایکس سnه با تکرار: سi+1 = qiم با س0=pb(2) برای ن تکرار (به عنوان مثال ن بار).
  • سپس دومین طرف از دو طرف یک محاسبه غیر عمومی را انجام می دهند ج ک-ایکس سkه با تکرار: سi+1 = qiسی دی با س0=pa(2) برای ن تکرار (به عنوان مثال ک بار).

من باید شی پایگاه داده سطح بالا است که تکرار برای شی این شامل در هر مرکز داده در خوشه به عنوان یک فضای کلید را کنترل تعریف کنیم . به عبارت دیگر فضای کلید خارجی ترین گروه بندی داده ها در ذخیره داده است.

بررسی دقیق موارد فوق نشان می دهد که با توجه به یک کلید با طول ن, فضای کلید برای الگوریتم تبادل کلید فراکتال بزرگتر از فضای کلید برای پروتکل دیفی-هلمن است, زیرا فضای کلید از دیفی-هلمن به تعداد اعداد اول در زمینه ز محدودpجایی که پ بزرگترین پرایم است که می تواند با 2 نیوتن بیت نشان داده شود. با این حال, با استفاده از الگوریتم تبادل کلید فراکتال ما می توانیم (به طور بالقوه) تا پایان با هر کلید, به این معنی که فضای کلید است دقیقا 2 نانومتر .

مجموعه های جولیا و مجموعه مندلبرو از این نظر مشابه هستند که در واقع سیستم عملکرد تکراری یکسانی دارند. با این حال, در حالی که مجموعه مندلبرو با استفاده از مقادیر متغیر در ایجاد می شود ج و یک مقدار اولیه از ز0= 0, مجموعه ای جولیا با استفاده از یک ج ثابت به عنوان دانه و یک مقدار متغیر در الف ایجاد شده است.

کدگذاری مجموعه مندلبرو در پایتون

  • پیدا کنید اگر یک عدد مختلط تحت حداکثر _ قدم ها واگرا شود و اگر این کار را انجام دهد وقتی:
  • بیایید اسکریپت عملکرد تکراری را به پایان برسانیم (توضیح از اسکریپت پیروی می کند):

خط 4: تصویر را با عدد با ارزش واقعی در محدوده هماهنگ می کند [-2,0.47] برای ایکس و در محدوده [-1.12,1.12] برای بله (با حاشیه 0.01 از هر طرف) که برای ساخت اعداد مختلط استفاده می شود. زیرا مشخص است که مجموعه با: چپ ترین میزان مجموعه با سنبله در پایان می یابد ایکس = -2 و سمت راست تقریبا به بیرون گسترش می یابد ایکس = 0.47. بالا و پایین به ترتیب تقریبا در هستند بله = ± 1.12.

خط 5: برای ذخیره مقادیر پیکسل مجموعه مندلبرو یک مجموعه نامتعارف از شکل ایجاد می کند.

خط 6-8: ما تمام مختصات پیکسل ها را با استفاده از دو حلقه حلقه می کنیم و مقدار پیکسل را برای این مختصات محاسبه می کنیم (این واقعا مقدار تکرار است).

خط 9-10: مقدار پیکسل را در تصویر قرار دهید. من از "ای ام جی[و][ایکس]=255-این" استفاده کردم زیرا تکرارهای بیشتر به معنای حرکت به سمت رنگ براک است . *** با استفاده از چرخش 90 درجه به چرخش توجه کنید: 255-به جای استفاده از ای ام جی[ایکس][و]=255-در غیر این صورت تصویر باید با 270 0 چرخانده شود .

ثبت دیدگاه

مجموع دیدگاهها : 0در انتظار بررسی : 0انتشار یافته : ۰
قوانین ارسال دیدگاه
  • دیدگاه های ارسال شده توسط شما، پس از تایید توسط تیم مدیریت در وب منتشر خواهد شد.
  • پیام هایی که حاوی تهمت یا افترا باشد منتشر نخواهد شد.
  • پیام هایی که به غیر از زبان فارسی یا غیر مرتبط باشد منتشر نخواهد شد.